Cooper se formó profesionalmente en la London Academy of Music and Dramatic Art (LAMDA). Al terminar sus estudios, obtuvo un papel en “Mother Clap’s Molly House”, en el prestigioso National Theatre, a las órdenes del director residente Nicholas Hytner. Cooper protagonizó posteriormente “Sueño de una noche de verano”, de la Royal Shakespeare Company, antes de reincorporarse a Hytner, en el National Theatre, para “His Dark Materials” y “The History Boys”, que acabaría haciéndose con tres premios Olivier, incluido el de “Mejor nueva obra”.

Los restantes trabajos de Cooper sobre los escenarios incluyen la producción del National Theatre de “Fedra”, de Jean Racine, con Helen Mirren en el papel epónimo. La producción, dirigida por Nicholas Hytner, también se representó en el Epidauro de Grecia y en Washington, D.C., de la mano de la Shakespeare Theatre Company.

Cooper está logrando poco a poco convertirse en uno de los talentos más fascinantes del mundo del espectáculo. Ha logrado triunfar tanto en el cine como en los escenarios, y no deja de demostrar su versatilidad creativa.

En el 2012 participó en la película “Abraham Lincoln: cazador de vampiros”, en la que interpretaba el codiciado papel de ‘Henry Sturgess’. Anteriormente, se pudo ver a Cooper en “Mi semana con Marilyn”, dirigida por Simon Curtis y con un reparto estelar que incluía nombres como Michelle Williams, Kenneth Branagh y Judi Dench.

Tuvo un papel protagonista en el drama independiente “El doble del diablo”, que pasó por los Festivales de Cine de Sundance y de Berlín de 2011. Antes de eso, Cooper intervino en la adaptación cinematográfica del cómic “Capitán América: El primer vengador”, dirigida por Joe Johnston, y coprotagonizada junto a Chris Evans, Tommy Lee Jones y Hayley Atwell.

Participó en la película "Tamara Drewe", de Stephen Frears, una adaptación moderna de la novela del siglo XIX “Lejos del mundanal ruido”, de Thomas Hardy. También intervino en la alabada obra iniciática “An Education”.

Cooper apareció en el gran éxito de taquilla “¡Mamma Mia!”, adaptación para la gran pantalla del popular musical con temas de ABBA. Además, tuvo un papel principal en “La duquesa”, película basada en la biografía de Amanda Foreman sobre la escandalosa aristócrata inglesa del siglo XVIII, ‘Georgiana, duquesa de Devonshire’.

Los restantes créditos cinematográficos de Cooper incluyen “The Escapist”, dirigido por Rupert Wyatt y coprotagonizado por Brian Cox y Joseph Fiennes, “Entrevistas breves con hombres repulsivos”, dirigido por John Krasinski, la producción de Tom Hanks “Un chico listo”, coprotagonizada con James McAvoy y Rebecca Hall, “La reina de la guerra”, “Asuntos de familia”, “El buen ladrón”, de Neil Jordan, y “Desde el infierno”, de los hermanos Hughes...